jueves, 24 de mayo de 2012

La conjetura de Kepler

El 9 de abril de 1585, una expedición formada por cinco navíos ingleses partió del puerto de Plymouth rumbo a Virginia, con el objetivo de establecer allí la primera colonia británica. El responsable de la expedición era Sir Walter Raleigh. Con él viajaba su ayudante, el matemático y astrónomo Thomas Harriot. En las cubiertas de los barcos, varias pirámides de balas de cañón estaban perfectamente colocadas.


¿A qué se debía esta curiosa disposición? Mientras preparaba la expedición, y acuciado por la falta de espacio, Raleigh preguntó a Harriot si conocía algún método sencillo para calcular cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco. La cuestión también era interesante para estimar el número de balas de cañón que almacenaban los buques enemigos en su cubierta. Harriot, quien luego sería el primero en usar los símbolos ">" y "<" (mayor que y menor que), no tuvo dificultad en responderle.

Retrato de Thomas Harriot de 1602 (fuente)

A raíz de la pregunta de Raleigh, Harriot empezó a estudiar distintas formas de empaquetar esferas, así como sus propiedades matemáticas. Años después, cuando mantuvo una correspondencia con su colega alemán Johannes Kepler, Harriot le transmitió su interés por este tipo de problemas. Así fue cómo Kepler se preguntó cuál sería la manera más eficaz de juntar esferas del mismo tamaño y surgió lo que hoy se conoce como conjetura de Kepler.

Uno de las ilustraciones de Kepler
donde propone su conjetura (fuente)

La hipótesis de Kepler
Si se tratase de cubos, el problema no tendría dificultad. Uno puede formar cualquier figura con cubos y juntarlos sin que quede ni el más mínimo resquicio entre ellos. En cambio, cuando se disponen esferas en el espacio siempre quedan huecos entre ellas, porque no encajan a la perfección. En otras palabras, lo que Kepler buscaba es, de todas las innumerables formas de colocar esferas, ¿cuál es la que deja el menor hueco posible?

Una opción es colocar una capa de esferas, tan juntas como sea posible, y a continuación poner otra capa idéntica de esferas justo encima. Esta forma de distribuirlas se conoce como una red cúbica simple. Para calcular lo buena que es esta distribución, se utiliza el concepto de densidad de empaquetamiento, que es la proporción del volumen rellenado por las esferas. En el caso de los cubos, la densidad de empaquetamiento sería de 100%, porque no hay huecos. En cambio, la red cúbica simple tiene una densidad de empaquetamiento de apenas 52%, lo que significa que los huecos ocupan casi tanto espacio como las esferas.

Estructura de una red cúbica simple

La red cúbica simple se puede mejorar partiendo de la misma capa inicial, y colocando la siguiente capa de manera que cada esfera se apoye en el hueco que forman las cuatro esferas de justo debajo. Esta disposición recibe el nombre de red cúbica centrada, y su densidad de empaquetamiento sube a 74% (exactamente es π/√18 ≈ 0,7404). Si colocas de esta manera varias capas, puedes llegar a construir una pirámide de esferas, como hizo Raileigh con las balas de cañón. O como hacen los fruteros con las naranjas, manzanas, etc.

Estructura de una red cúbica centrada

Por supuesto, hay otras muchas maneras de colocar esferas. Pero Kepler afirmó que ninguna de ellas podría superar la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada: da igual cómo ordenes las naranjas que su densidad será, en el mejor de los casos, de 74%. Esto es lo que se conoce como la conjetura de Kepler, pues el científico alemán no pudo demostrarla matemáticamente.

El camino hacia la conjetura
Hubo que esperar más de dos siglos hasta que alguien diera el primer paso. Y éste fue, quién si no, el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss. En 1831, Gauss demostró que la conjetura de Kepler es cierta siempre que las esferas estén dispuestas en una red regular. Es decir, cuando las esferas se colocan siguiendo un patrón determinado, entonces no se puede mejorar la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada. Así que nos podemos olvidar de las distribuciones regulares de esferas y centrarnos únicamente en las irregulares, ya que sólo éstas podrían invalidar la conjetura de Kepler.

Claro que, a pesar del avance de Gauss, el problema seguía siendo muy complicado, porque hay muchísimas más distribuciones de esferas irregulares que regulares. Puedes llenar varias veces una caja con naranjas colocándolas de cualquier manera, y seguro que la distribución resultante cada una de las veces será distinta. Y para poder demostrar la conjetura de Kepler habría que considerar cada una de las innumerables maneras de distribuir esferas. La dificultad era tal que apareció en la lista de los 23 grandes problemas matemáticos sin resolver que el matemático alemán David Hilbert elaboró a principios del siglo XX. (En concreto, formaba parte del problema nº 18.)

La tumba de Hilbert, con su epitafio:
"Debemos saber, llegaremos a saber" (fuente)

Pero en la segunda mitad del siglo XX, los matemáticos consiguieron avances significativos. En 1953, el matemático húngaro László Fejes Tóth introdujo una novedad importante al dividir el volumen que ocupaba una distribución de esferas en las llamadas celdas de Voronoi. Es decir, le asignó a cada esfera de la distribución una región del espacio formada por los puntos que están más cerca del centro de esa esfera que de ninguna otra. Por ejemplo, en el caso de la red cúbica centrada, la celda de Voronoi resultó ser un dodecaedro rómbico. 


Traducido a este lenguaje, la conjetura de Kepler consistía en demostrar que el volumen de un dodecaedro rómbico era menor que el volumen de la celda de Voronoi de cualquier otra distribución. Mejor aún, Tóth fue capaz de limitar el número de celdas de Voronoi que necesitaba considerar a sólo 13, reduciendo la conjetura de Kepler a un problema con un número finito de variables. Y aunque los cálculos era demasiado complejos y extensos, ya intuyó que los ordenadores tendrían un papel fundamental en la resolución del problema. (Por cierto, si quieres saber más sobre los diagramas de Voronoi te animo a que leas esta entrada y esta otra.)

Más tarde, el estadounidense Thomas Hales tomó el testigo de Fejes Toth y demostró que para calcular la densidad de empaquetamiento de cualquier distribución bastaba con tener en cuenta apenas 50 esferas. Así, Hales consiguió describir el volumen de una distribución mediante una descomunal función de 200 variables, con 2.000 condiciones de contorno. Cada una de estas variables debería ir cambiando de valor para representar las 5.000 configuraciones posibles que había que tener en cuenta.

Thomas Hales, ante el reto de Kepler

En 1992, Hales inició una investigación para desarrollar programas informáticos que encontrasen los límites inferiores de su función Esta ardua tarea implicaba solucionar cerca de 100,000 problemas de programación lineales. Después de seis años, Hales anunció que ninguna de las configuraciones de esferas analizadas mejoraba la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada. Por tanto, la conjetura de Kepler era cierta.

Una demostración polémica
Pero la historia estaba todavía lejos de llegar a su final. La demostración de Thomas Hales ocupaba casi 300 páginas, además de tres gigabytes de código y datos. La prestigiosa revista Annals of Mathematics fue elegida por Hales para su publicación…pero primero tenía que darla por buena.

La revista se encontró ante una situación
inédita en su centenaria historia (fuente)

La revista seleccionó a doce científicos de reconocido prestigio, al frente de los cuales estaba Gabor Fejes Tóth, el hijo de László. Estos científicos consumieron la mayor parte de sus energías en la tarea de verificar si los programas informáticos de Hales daban los resultados esperados y no eran erróneos. Pero después de varios años de intenso trabajo, el comité de expertos se dio por vencido, reconociendo su incapacidad para verificar, en un tiempo razonable, todas y cada una de las partes de la demostración de Hales. Una tarea que se ha comparado con la de verificar, uno a uno, los datos del listín telefónico de Nueva York. En vez de eso, el comité se conformó con realizar las comprobaciones necesarias para afirmar que la demostración era, con un 99% de probabilidad, correcta. 

¿Era eso suficiente para considerar que la conjetura de Kepler se había demostrado? Después de mucho meditar, la dirección de la revista tomó una decisión salomónica y dividió la demostración en dos. En noviembre de 2005, la parte teórica de la conjetura se publicó en Annals of Mathematics, mientras que el programa informático apareció en otra revista, especializada en computación, Discrete and Computational Geometry. (Existe una leyenda urbana muy extendida según la cual Annals añadió un comentario editorial advirtiendo que la validez de la demostración dependía del programa informático. Pero no es cierto. Tal comentario nunca se publicó, como explica en el punto 2 de esta carta al director el matemático Francisco Santos.)

La demostración de la conjetura de Kepler dejó un sabor agridulce a muchos matemáticos. Basándose en el llamado método de fuerza bruta, Hales había probado muchos casos particulares usando la potencia de los ordenadores actuales. Pero detrás de este método no hay ningún proceso lógico siguiendo el cual lleguemos a la conclusión deseada, como se hace en cualquier demostración matemática tradicional. ¿Se puede considerar como tal un razonamiento que se basa en un cómputo enorme y difícil de comprobar? El propio Hales no debe estar totalmente satisfecho, pues ha iniciado el llamado Proyecto Flyspeck, con la intención de encontrar una demostración formal de la conjetura de Kepler.

Lo cierto es que el ordenador es una herramienta imprescindible hoy en día. Gracias a ella, los científicos simulan procesos tan complejos como la evolución de las estrellas, el comportamiento de un terremoto o la metástasis de un cáncer. Si los ordenadores pueden resolver cálculos rutinarios, liberando de este tedioso trabajo a los matemáticos, ¿por qué no se van a beneficiar ellos también?

El debate sigue abierto.

NOTA: Esta entrada participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión Gaussianos.

Bibliografía:
  1. T. Hales, An overview of the Kepler Conjecture, arXiv:math/9811071v2, 20 de mayo de 2002.
  2. P.J. Miana, N. Romero, La historia de la conjetura de Kepler, Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja, 2010.
  3. D. Martín, La conjetura de Kepler, ¿Cómo ves? nº 111, febrero 2008.

viernes, 18 de mayo de 2012

El domingo, eclipse anular de Sol

El próximo domingo 20 de mayo se producirá uno de esos fenómenos de la naturaleza que no hay que perderse: la Luna pasará por delante del Sol y cubrirá cerca del 94% de su superficie. Esto es lo que se conoce como eclipse de Sol anular y será visible en el este de Asia, el norte del Océano Pacífico y el oeste de Estados Unidos, en una franja de algo más de 300 kilómetros de ancho. Fuera de ahí habrá una zona de penumbra mucho más amplia, donde el eclipse será parcial, tal y como se puede apreciar en esta animación realizada por la NASA. (El punto rojo en movimiento es la zona desde donde se podrá contemplar el eclipse anular.)  


Un eclipse solar se produce cuando la Luna se interpone entre la Tierra y el Sol, ocultando a nuestra estrella desde la perspectiva terrestre. La posición relativa de la Luna y la Tierra determinará qué tipo de eclipse se va a producir. Como la órbita de la Luna alrededor de nuestro planeta es elíptica, su distancia con respecto a la Tierra no es siempre la misma, sino que varía entre los 356.000 y los 406.000 kilómetros, aproximadamente. Esta diferencia puede suponer que el tamaño aparente de la Luna cambie hasta un 13% al observarlo desde nuestro planeta. Cuando la Luna se encuentra en la zona más próxima a la Tierra –el perigeo-, la Luna parece mayor que el Sol. Precisamente hace un par de semanas pudimos contemplar la mayor luna llena del año, cuando nuestro satélite se encontraba en su perigeo y coincidió con esta fase de la Luna. Como puedes comprobar en la siguiente imagen tomada ese día, el tamaño de la Luna era mayor que el del Sol, visto desde nuestro planeta. Si se hubiese producido entonces un eclipse solar, habría sido total.
  
Sol vs. Superluna (Crédito: Charlie Szabototh)

Pero este próximo domingo, el día del eclipse, resulta que la Luna se encuentra muy cerca de su apogeo (el punto más lejano a nuestro planeta de la órbita lunar), por lo que el eclipse no será total; la Luna es demasiado pequeña para cubrir todo el disco del Sol. En lugar de oscurecerlo completamente, dejará ver a su alrededor un brillante anillo resplandeciente.

Eclipse anular del 15 de enero de 2010, desde la India (fuente)

Quizás el fenómeno no sea tan impresionante como un eclipse solar total, pero seguro que dejará un buen puñado de imágenes espectaculares. Eso sí, si eres uno de los millones de personas que van a tener la suerte de disfrutarlo en vivo, recuerda que, aunque la mayoría del Sol está tapado, debes usar un una protección adecuada, como por ejemplo un filtro solar. Nunca mires directamente al Sol, ni siquiera con gafas de sol. Y si tienes dudas, por favor, consulta alguna página especializada (aquí tienes unos cuantos consejos del Exploratorium de San Francisco).



martes, 15 de mayo de 2012

Retratos de especies americanas en peligro



La vida en nuestro planeta nunca fue fácil, pero en las últimas décadas la acción del ser humano lo está poniendo más difícil todavía. Apenas quedan recursos y espacio para muchas de las especies animales, sin hablar de los efectos del cambio climático. Por eso, el vídeo empieza con una frase tan realista como demoledora: cada día, al menos cien especies se extinguen.

Ante este panorama, el fotógrafo estadounidense Joel Sartore decidió crear el llamado Proyecto de la Biodiversidad. Su objetivo es bien simple: mostrar al público la realidad de las especies en peligro de extinción y concienciarlo ahora que todavía estamos a tiempo de hacer algo para evitar su desaparición.

Sartore se ha pasado varios años recorriendo los zoos de todo el mundo, donde fotografía a todas las especies que puede. En total, lleva casi 2.000. Para ello utiliza un estudio portátil con fondo blanco o negro, con la idea de dar a cada animal el mismo peso e importancia, ya sea un imponente león o un diminuto ciempiés. Como explica el propio autor, ese fondo tan limpio, combinado con una iluminación adecuada, permiten contemplar a cada especie de una manera completamente distinta, más cercana e íntima. Sartore confía en que esos retratos ayuden a comprender que cualquier ser vivo tienen tanto derecho a existir como nosotros.

El vídeo sirve de promoción al libro que ha sacado Sartore, RARE: Portraits of American's Endangered Species, en el que el fotógrafo ha recopilado ochenta fotos publicadas en National Geographic.

Como la esperanza es lo último que se pierde, me quedo con la última frase del vídeo: no es demasiado tarde.

NOTA: Esta entrada participa en la XIII Edición del Carnaval de Biología que organiza Marisa Alonso en su blog Caja de Ciencia.

domingo, 13 de mayo de 2012

El asteroide Vesta es un pequeño planeta

No lo digo yo, lo dice Christopher T. Russell, el investigador jefe de la misión Dawn. Y cuenta con varios argumentos de peso en los que apoyarse. Ya sabíamos que Vesta tiene cráteres gigantescos. Pero ahora hemos descubierto que también tiene enormes montañas; la mayor de ellas dobla en altura al Everest. También se ha observado la presencia de minerales en el fondo de profundas grietas superficiales, lo que alimenta la teoría de que su interior estuvo fundido alguna vez; puede que incluso en la actualidad tenga un océano de magma bajo su superficie. Y las mediciones de su campo gravitatorio confirman que tiene un núcleo de hierro, cuyo origen se remonta a la etapa inicial del Sistema Solar. Por todo ello, Vesta se parece más a un planeta como la Tierra o a un satélite como nuestra Luna que a cualquier otro asteroide.

Estas conclusiones se han conseguido principalmente gracias a las más de 20.000 imágenes que ha tomado la sonda Dawn desde que entrase en la órbita de Vesta, allá por julio de 2011. Con ellas, los chicos del Jet Propulsion Laboratory (JPL) de la NASA acaban de realizar este alucinante vídeo para que sepamos lo que se siente al sobrevolar su escarpada superficie.


Ya sé que hacía mucho que no hablaba de Vesta, después de dedicarle tres entradas a la misión Dawn y su llegada al asteroide (primera, segunda y tercera). Pero ahora que he conseguido retomar el tema, habrá que ponerse al día, ¿no?

jueves, 10 de mayo de 2012

La singularidad de Stephen Hawking



¿Cómo ves? es una revista de divulgación científica que la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) lleva publicando mensualmente desde diciembre de 1998. Con una tirada de 20.000 ejemplares -ahí es nada-, en sus cuarenta páginas a todo color la revista aborda todo tipo de temas científicos. Para ello cuenta en su plantilla con algunos de los más ilustres divulgadores científicos del país, como Estrella Burgos, Sergio de Régules o Martín Bonfil, además de profesores, divulgadores, investigadores...y un servidor. Es un honor y un orgullo para mí poder colaborar con una revista que, tras más de trece años en la brecha, se ha consolidado como un medio de comunicar la ciencia, no sólo a los más jóvenes, sino también a un público mucho más amplio. La ciencia interesa, claro que sí.

Hace unos meses, Estrella, que es la editora, me pidió que escribiera un artículo sobre los logros científicos de Stephen Hawking, con motivo de su septuagésimo cumpleaños. Hawking no necesita presentación; es seguramente el científico más famoso del mundo. Pero en muchas ocasiones su fama le viene de otros motivos que quedan fuera del ámbito científico. Y me refiero, por ejemplo, a la terrible enfermedad que padece y que le ha postrado en una silla de ruedas y le obliga a hablar a través de un ordenador desde hace décadas. El artículo se publicó en el último número, el 162, correspondiente al actual mes de mayo, y la semana pasada me llevé una enorme alegría al comprobar que dicho artículo aparecía en la portada.

Si te apetece leerlo completo, puedes hacerlo en este enlace, ya que la revista comparte en la versión digital los artículos de portada. 


También puedes descargártelo en pdf y disfrutar de las estupendas ilustraciones que siempre acompañan a los artículos. 


O mejor aún, si vives en México te animo a que consigas la revista. ¡No te arrepentirás!


martes, 1 de mayo de 2012

Bajo el cielo de Namibia


Si normalmente ya es una gozada contemplar el cielo nocturno, en esta ocasión hay varios alicientes añadidos para disfrutar de este fantástico e instructivo vídeo. Se trata de un timelapse grabado durante diez noches en la Granja Tivoli, Namibia, un oasis en medio del desierto de Kalahari, a 180 kilómetros de la capital del país, Windhoek. La granja se encuentra en una vasta llanura, situada a una altitud de 1.362 metros. Si a eso le sumamos que de mayo a septiembre el cielo está casi siempre despejado, nos encontramos ante un lugar privilegiado para la astronomía.

© 2004 Tivoli Southern Sky Guest Farm 

Pero lo que más interesante no es este marco incomparable, sino su localización. Namibia, como ya sabes, es un país africano que se encuentra en el hemisferio sur. (En concreto, las coordenadas de la Granja son 23º 27’ 40’’ sur, 108º 01’ 01’’ este). Allí, el cielo nocturno es bien diferente al que estamos acostumbrados los habitantes del hemisferio norte, como es mi caso. Por eso se agradece enormemente que el autor, Lorenzo Comolli, se haya tomado la molestia de indicar en el vídeo el nombre de los objetos astronómicos más destacados a medida que aparecen en el firmamento, muchos de los cuales son poco habituales para mí. Es el caso, por ejemplo, de Sigma Octantis (la estrella más cercana al polo sur celeste), la Cruz del Sur, las Nubes de Magallanes (dos pequeñas galaxias compañeras de la Vía Láctea que en el vídeo vienen señaladas como SMC y LMC, Small Magellanic Cloud y Large Magellanic Cloud, respectivamente), Eta Carinae (una de las estrellas más masivas de nuestra galaxia) o Canopus, la segunda estrella más brillante de todo el cielo nocturno después de Sirio. También me ha llamado la atención otros detalles curiosos como la órbita de los satélites geoestacionarios, la aparición de un meteorito con estela o ver a Orión boca abajo.

El vídeo dura trece minutos...y se me ha hecho corto.